Carl Gauss: Hoàng tử toán học giải bài toán cổ có lịch sử hơn 2000 năm chỉ trong một đêm

On Th4 7, 2021

Chắc hẳn thời đi học, đã từng có ít nhất một lần chúng ta được nghe cái tên Gauss, được kể về những giai thoại hay các định lý mà thần đồng này để lại. Thật vậy, người ta đánh giá rằng nếu trừ cái tên Newton ra thì hiếm có một nhà toán học nào để lại nhiều ảnh hưởng cho nền toán học hiện đại như Carl Gauss; Cái tên của ông cũng được xếp ngang hàng với những nhà toán học lỗi lạc khác như Euler, Archimedes,.. Có người nói Gauss chịu xuất bản toàn bộ công trình nghiên cứu của mình, có lẽ toán học đã phát triển sớm hơn hiện tại tới 50 năm. Và, cũng giống như Newton, không chỉ toả sáng ở lĩnh vực toán, Gauss còn nghiên cứu và đóng góp rất nhiều vào các lĩnh vực khác như trắc địa, thiên văn, vật lý, tĩnh điện học và quang học,…

“Học tính trước khi học nói”

Johann Carl Friedrich Gauß (30/4/1777 – 23/2/1855).

Viết chính xác tên của ông là Johann Carl Friedrich Gauß, ông sinh ngày 30 tháng 4 năm 1777 và mất ngày 23 tháng 2 năm 1855. Gauß được người đời ca tụng là “Hoàng tử của các nhà toán học”, thế nhưng danh hiệu này không hoàn toàn xuất phát từ những đóng góp của ông cho nền toán học mà còn bởi vì từ nhỏ, ông vốn là một thần đồng có khả năng tính toán hơn người. Gia đình của Gauß thuộc tầng lớp lao động nghèo trong xã hội Đức, mẹ của ông thậm chí còn không biết chữ và có rất ít kiến thức. Vì không biết chữ, bà không thể ghi lại ngày sinh của Gauß mà chỉ nhớ rằng ông được sinh ra vào tháng 4, trước lễ Thăng Thiên 8 ngày và sau lễ Phục Sinh 39 ngày. Khi còn nhỏ, nhờ vào những dữ liệu mà mẹ cho mình biết, Gauß đã có thể tính được ngày sinh của mình và phát hiện ra nhiều phương pháp tính ngày theo lịch.

Nhiều giai thoại kể rằng Gauß đã tính toán cực kì nhạy bén từ năm lên 3, cái tuổi mà đám con nít vẫn khóc nhè giành nhau cây kẹo mút. Một hôm ông vô tình gặp ba của mình đang tính toán các ghi chép bán hàng, ông chợt nhận thấy một sai sót nhỏ và báo cho ba biết. Người ba lúc bấy giờ nửa tin nửa ngờ vì con trai của mình chỉ mới 3 tuổi thì làm sao có thể biết đúng hay sai, mặc dù vậy ông vẫn cẩn thận kiểm tra và tính lại. Thật bất ngờ khi đúng là ông đã tính sai ở ngay chỗ mà Gauß mách mình.

Năm Gauß lên 7, lại tiếp tục xuất hiện một giai thoại khác về khả năng tính toán của ông. Gauß đi học ở lớp và thầy giáo đưa ra một đề toán hãy tính tổng của các số từ 1 đến 100. Đây là một bài toán dạng cấp số cộng đơn giản với chúng ta ngày nay, nhưng với một đứa trẻ lên 7 thì đây là một câu hỏi tương đối phức tạp. Suy nghĩ trong vài giây, Gauß tuyên bố đã giải được thế nhưng thầy giáo cho rằng ông không thể giải quyết nhanh đến thế nên bảo Gauß hãy xem kỹ lại, có thể tính bị sai đấy. Nhưng Gauß không hề sai, ông đưa ra một cách giải quyết cực kì hay và đơn giản khiến cả thầy giáo và bạn bè đều hết hồn. Cách làm như sau:

Gauß nhận thấy nếu cộng dần các cặp số ở đầu và cuối dãy số thì luôn có tổng giống nhau, ví dụ 100+1, 99+2, 98+3,… tất cả đều có tổng là 101. Có tất cả 100 số, nghĩa là sẽ có 50 cặp có tổng 101 như vậy, nên ông chỉ cần lấy 101 nhân 50, kết quả là 5050. Cực kì nhanh và gọn. Các nhà chép sử cho rằng đây là một câu chuyện có thật, dù các chi tiết có thể thay đổi so với thực tế.

Bị ấn tượng bởi trí tuệ hơn người của Gauß, công tước Karl Wilhelm Ferdinand đã cấp học bổng cho ông để vào học trường trung học Collegium Carolinum. Sau đó Gauß theo học đại học tại trường Gottingen. Trong thời gian đi học, Gauß liên tục khám phá được nhiều định lý toán học quan trọng, ví dụ như chứng minh mọi đa giác đều có số cạnh bằng số nguyên tốt Fermat đều có thể dựng được chỉ bằng compa và thước kẻ. Số nguyên tố Fermat là số nguyên tố có dạng 2^2^n + 1, ví dụ như 3, 5, 17, 257,… Và nhắc đến câu chuyện dựng hình bằng compa và thước, chúng ta có một câu chuyện cực kì thú vị về Gauß.

Cậu học trò 19 tuổi giải thành công bài toán cổ 2000 năm

Khoảng 300 năm trước Công Nguyên, các nhà toán học từ thời Euklid luôn cố gắng giải quyết một vấn đề nghe thì tưởng chừng đơn giản nhưng chưa hề có ai làm được một cách triệt để. Đó là tìm cách dựng các đa giác đều chỉ bằng thước kẻ và compa. Lúc bấy giờ, người ta chỉ tìm được cách dựng ra hình vuông, tam giác đều, ngũ giác đều và gần thời của Gauß nhất thì cũng chỉ dựng được 15 cạnh đều mà thôi.

Quay trở lại về Gauß, lúc này là một chàng trai chưa đầy 19 tuổi đang học Đại học. Mỗi ngày, thầy hướng dẫn của ông sẽ giao riêng cho ông 2 đề toán để làm mỗi ngày, coi như bài tập về nhà. Như thường lệ, hai bài toán mà thầy đưa ra thường không đủ sức cầm chân Gauß và ông chỉ tốn vài tiếng ngắn ngủi là giải quyết được. Song, khác với mọi khi, ngày nọ Gauß vô tình tìm thấy thêm một đề toán khác được kẹp vào tập đề của ông. Ông hơi ngạc nhiên vì hôm nay thầy giao cho mình đến 3 bài, thế nhưng ông vẫn bắt tay vào giải nó mà không phàn nàn gì. Đề bài như sau: “Dùng một compa và thước kẻ không khắc độ, vẽ ra một hình có đúng 17 cạnh đều nhau”

Rõ ràng đây chính là một trường hợp của bài toán vốn đã tồn tại hơn 2000 năm nay mà chưa ai có thể giải được một cách tổng quát, hay ít nhất là với trường hợp 17 cạnh. Đề bài này quá khó, không như hai bài trước. Gauß tốn rất nhiều thời gian, từng tiếng trôi qua trong đêm và ông phải vắt hết tất cả kiến thức và trí óc của mình để tìm cách dựng hình. Gauß miệt mài với bút, giấy, compa và thước tới tận sáng. Lúc này có vẻ như Gauß đã hoàn thành được bài toán.

Mặc dù đã giải được, nhưng Gauß vẫn cảm thấy hổ thẹn vì cho rằng mình đã giải bài này quá lâu. Ông gặp thầy hướng dẫn và nói rằng “Em xin lỗi vì đã phụ lòng công sức của thầy, bài toán thứ 3 em đã phải mất cả đêm mới làm được…”. Người thầy bất ngờ vì câu nói, vội cầm lấy tập của Gauß xem xét và đứng trơ người vì quá hoảng hồn. Người thầy hỏi lại:

Chính em làm bài này thật à?

Dạ, tất nhiên rồi, nhưng em phải tốn cả đêm để hoàn tất bài này. Em thật kém cỏi – Gauß đáp lại.

Người thầy kêu học trò của mình ngồi xuống, yêu cầu Gauß tự tay vẽ lại trước mặt mình một hình đa giác 17 cạnh đều. Gauß vẽ lại trong sự trầm trồ của người thầy, sau khi hoàn tất, người thầy nói rằng: “Em có biết đây là bài toán trước giờ chưa ai có thể giải được, kể cả Archimedes hay Isaac Newton không? Bài toán này đã có niên đại hơn 2000 năm, và em chỉ giải nó trong một đêm, em thật sự là một thiên tài!”.

Nhiều người cho rằng đề toán này là do chính người thầy đưa cho Gauß một cách có chủ ý để thử thách cậu học trò, nhưng có người cũng cho rằng bản thân người thầy cũng đang bí trong việc giải quyết vấn đề khó và vô tình để lọt đề bài vào tập đề của Gauß. Nhưng dù thế nào thì khoảnh khắc ấy cũng đã đánh dấu một cột mốc lớn của huyền thoại toán học.

Gauß bất ngờ vì những gì người thầy nói với mình, từ thất vọng, ông chuyển thành sung sướng và hạnh phúc. Hình đa giác đều 17 cạnh và bài toán dựng hình của nó trở thành một trong những công trình mà Gauß tâm đắc nhất cuộc đời mình. Thậm chí ông yêu cầu khi chết, hãy khắc hình này lên bia một của ông. Nhưng thú vị thay, để dựng được hình này trên bia đá là quá khó, do đó người làm bia đã từ chối nguyện vọng của Gauß và ý nguyện của ông không thể hiện thực được.

Bia mộ của Gauß hiện tại.

Về sau, Gauß chia sẻ và nói lại rằng “Nếu có ai đó nói với tôi rằng đó là một bài toán khó, đã có 2000 năm lịch sử và chưa có ai giải được, thì có lẽ tôi đã bỏ cuộc và không thể hoàn thành đó”. Câu nói này cũng là bài học cho việc, có lẽ nếu chúng ta không biết vấn đề mà chúng ta đang đối mặt khó khăn như thế nào, có lẽ là chúng ta sẽ thực hiện nó tốt hơn là vạch ra rất nhiều thử thách rồi buông xuôi.

Công việc nghiên cứu đặt lên trên tất cả

Gauß có rất nhiều công trình nổi tiếng và quan trọng cho khoa học, nhưng khuôn khổ bài viết mình muốn trình bày cho các bạn đọc về các giai thoại hay và vui hơn là đào sâu về các kiến thức chuyên môn. Ông luôn là người cầu toàn trong công việc, đặt nghiên cứu lên hàng đầu, bất kể đó là gia đình. Người ta kể rằng khi Gauß đang nghiên cứu thì nhận được tin vợ mình sắp mất từ một người đưa tin, ông nói rằng: “Kêu bà ấy đợi tôi một chút, để tôi xong việc đã”.